Архимед и корона

Самая древняя из головоломок, относящихся к взвешиванию, без сомнения, та, которую древний правитель сиракузский Гиерон задал знаменитому математику Архимеду.

Предание повествует, что Гиерон поручил мастеру изготовить венец для одной статуи и приказал выдать ему необходимое количество золота и серебра. Когда венец был доставлен, взвешивание показало, что он весит столько же, сколько весили вместе выданные золото и серебро. Однако правителю донесли, что мастер утаил часть золота, заменив его серебром. Гиерон призвал Архимеда и предложил ему определить, сколько золота и сколько серебра заключает изготовленная мастером корона. Архимед решил эту задачу, исходя из того, что чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро — 10-ю.

Если вы желаете испытать свои силы на подобной задаче, примите, что мастеру было отпущено 8 кг золота и 2 кг серебра и что, когда Архимед взвесил корону под водой, она весила не 10, а всего 9¹/₄ кг. Попробуйте определить по этим данным, сколько золота утаил мастер. Венец был изготовлен из сплошного металла, без пустот.

Я решил ее так: В воде вес золота сохраняется на 19/20, а серебра на 9/10 и пусть вес потраченного золота есть x, а серебра есть y, тогда у нас получаются два уравнения, в первом сумма весов золота и серебра в воде равна 9,25 кг, а их суммарный вес равен 10 кг. Итак: х*19/20+у*9/10=9,25 и х+у=10, умножим правые и левые части второго уравнения на 19/20, получим: 19/20*х+19/20*у=10*19/20 и х*19/20+у*9/10=9,25. Вычтем из первого уравнения второе, получим: (19/20-9/10)*у=19/2-9,25 и получим, что 1/20*у=1/4 и у=5 кг. Итак мастер присвоил 3 кг золота. Кара ему заслуженная!

А вот, как мне кажется современное условие той задачи: Задача Архимеда: из чистого ли золота изготовлена царская корона, если ее вес в воздухе 28,2 Н, а в воде 26,4 Н? Решил я ее следующим образом: учтем, что плотность воды р_воды=1000 кг/м³, а золота р_золота=19300 кг/м³, вес в воздухе равен F₁=m_короны*g, отсюда m_короны=F₁/g=28,2/9,8=2,88 кг, вес короны в воде равен весу в воздухе минус вес воды, а вес воды равен р_воды*V_короны*g, итак: F₂=m_короны*g-р_воды*V_короны*g, отсюда V=(m_короны*g-F₂)/р_воды*g=(F₁-F₂)/р_воды*g, тогда масса предполагаемой золотой короны равна р_золота*V или равно р_золота/р_воды*(F₁-F₂)/g, итак m_{предполагаемой короны из золота}=р_золота/р_воды*(F₁-F₂)/g=19300/1000*(28,2-26,4)/9,8=3,54 кг, и получается, что m_{предполагаемой короны из золота}>m_короны, 3,54 кг>2,88 кг, то есть корона не из чистого золота. Еще раз кара мастеру!

Станцуем по этому поводу Сиртаки: