Ахиллес и черепаха

Читаю "Войну и мир" Льва Николаевича Толстого и в третьем томе, в начале части третьей нахожу старинную задачу об Ахиллесе и черепахе, вот текст: "Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи, как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его десятую этого пространства; Ахиллес пройдет десятую, черепаха пройдет одну сотую и т.д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимой." Я решил ее так, пусть скорость Ахиллеса относится к скорости черепахи, как 10 к 1: V_{Ахиллеса}/V_{черепахи}=10 или V_{черепахи}=V/10, тогда расстояние которое преодолеет Ахиллес за время t будет S_{Ахиллеса}=V*t, а черепахи S_{черепахи}=V*t/10. Рассмотрим сколько же всего пробегут Ахиллес и черепаха за время t: на первом участке S₁=V*t₁+V*t₁/10, на втором участке S₂=V*t₂+V*t₂/10, расстояния которые пройдет черепаха на первом участке, равна расстоянию, которое пройдет Ахиллес на втором, поэтому: V*t₁/10=V*t₂, отсюда t₂=t₁/10, поэтому можно записать: S₂=V*t₁/10+V*t₁/100, тогда для третьего участка: S₃=V*t₁/100+V*t₁/1000 и т.д. Итак сумма всех дистанций пройденных Ахиллесом будет: S=V*t₁+V*t₁/10+V*t₁/100+V*t₁/1000+...=V*t₁(1+0,1+0,01+0,001+...). То есть получается геометрическая прогрессия. Чему же она равна? Представим геометрическую прогрессию в виде: S₁=b(1+q+q²+...+q^n-1), умножим правые и левые части на q, получим: q*S₁=b(q+q²+q³...+qⁿ), вычтем из первого уравнения второе, получим: S₁(1-q)=b*(1-qⁿ) или S₁=b*(1-qⁿ)/(1-q). Итак для S получаем: S=V*t₁*(1-0,1ⁿ)/(1-0,1), рассмотрим предел при n стремящемся к бесконечности: S=limit_n→unlimitV*t₁*(1-0,1ⁿ)/(1-0,1)=V*t₁/0,9. А S можно представить как S=V*T, где T, то время, за которое Ахиллес догонит черепаху, а t₁ это время за которое Ахиллес преодолеет первоначальное расстояние отделяющее черепаху от него, итак V*T=V*t₁/0,9 или T=t₁/0,9, а t₁=L/V, где L, расстояние которое отделяет первоначально Ахиллеса от черепахи, пусть V=10 м/с, а L=100 м, тогда t₁=100/10=10 с, а T=10/0,9=11,11(1) с. Сравним наше решение с современным подходом. Возьмем ось абцисс Х, за начало отсчета положение начальное Ахиллеса х₁₀=0, его скорость V₁=v=10 м/с, начальное положение черепахи будет х₂₀=L=100 м, скорость V₂=v/10=1 м/с. Возьмем систему отсчета движущуюся вместе с черепахой, с началом отсчета в первоначальном месте расположения черепахи, координата х^'=x-L , скорость V^'=V-v/10, тогда начальные координаты Ахиллеса в этой системе будут х^'₁₀=х₁₀-L=-L, скорость V^'₁=V₁-v/10=v-v/10=0,9v, координаты черепахи х^'₂₀=х₂₀-L=0, V^'₂=V₂-v=v/10-v/10=0. Координата Ахиллеса меняется в этой системе отсчета по закону: х^'₁=x^'₁₀+V^'₁t , х^'₁=-L+0,9vt , Ахиллес нагонит черепаху тогда, когда х^'₁ станет равным нулю, т.е. 0=-L+0,9vt , отсюда L=0,9 vt, t=L/0,9v, итак t=100/0,9*10=10/0,9=11,11(1) с. Ответы, как видите совпадают! Заметьте, что единица после запятой в ответе в периоде, т.е. вопрос остается открытым, насколько правдоподобны наши подходы к решению этой проблемы? Пишите! Скорее Ахиллес, просто в конце концов наступит черепахе на хвост!

Посмотрите замечательный мультик на тему "черепах": "Ежик плюс Черепаха"